यदि u(x) और v(x) अवकल समीकरण frac{d^{2} y}{d | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ द्वितीय कोटि का एक रैखिक समघाती अवकल समीकरण है। अध्यारोपण (superposition) क

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$y=5 u(x)+8 v(x)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ द्वितीय कोटि का एक रैखिक समघाती अवकल समीकरण है। अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत के अनुसार, यदि $u(x)$ और $v(x)$ दो स्वतंत्र हल हैं, तो उनका कोई भी रैखिक संयोजन $y = c_{1}u(x) + c_{2}v(x)$ भी एक हल होता है, जहाँ $c_{1}$ और $c_{2}$ स्वेच्छ अचर हैं। विकल्प $A$ रैखिक संयोजन का एक विशिष्ट मामला है जहाँ $c_{1}=5$ और $c_{2}=8$ है। विकल्प $B$ को $y = c_{1}u(x) + (c_{2}-c_{1})v(x)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो नए स्वेच्छ अचरों के साथ $u(x)$ और $v(x)$ का एक रैखिक संयोजन है। अतः, $A$ और $B$ दोनों अवकल समीकरण के हल को दर्शाते हैं।

यदि $u(x)$ और $v(x)$ अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ के दो स्वतंत्र हल हैं, तो दिए गए अवकल समीकरण का अन्य हल कौन सा है?

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नीचे दिए गए अवकल समीकरण का हल ज्ञात कीजिए:
$\frac{dy}{dx} + y \cdot \csc^2 (x) = \csc^2 (x) \cdot \cot (x)$

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