यदि y'' - 3y' + 2y = 0 जहाँ y(0) = 1 और y'(0) | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y'' - 3y' + 2y = 0$ है। अभिलक्षणिक समीकरण $m^2 - 3m + 2 = 0$ है। गुणनखंड करने पर, $(m - 1)(m - 2) = 0$ प्राप्त होता है, इसलि

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $y'' - 3y' + 2y = 0$ है। अभिलक्षणिक समीकरण $m^2 - 3m + 2 = 0$ है। गुणनखंड करने पर, $(m - 1)(m - 2) = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए मूल $m = 1$ और $m = 2$ हैं। सामान्य हल $y(x) = Ae^x + Be^{2x}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $y'(x) = Ae^x + 2Be^{2x}$ प्राप्त होता है। प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करने पर: $x = 0$ पर, $y(0) = A + B = 1$। $x = 0$ पर, $y'(0) = A + 2B = 0$। दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर, $B = -1$ प्राप्त होता है। $B = -1$ को $A + B = 1$ में रखने पर, $A = 2$ प्राप्त होता है। अतः, विशिष्ट हल $y(x) = 2e^x - e^{2x}$ है। अब, $x = \log_{e} 2$ पर $y$ का मान ज्ञात करने पर: $y(\log_{e} 2) = 2e^{\log_{e} 2} - e^{2\log_{e} 2} = 2(2) - (e^{\log_{e} 2})^2 = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$।

यदि $y'' - 3y' + 2y = 0$ जहाँ $y(0) = 1$ और $y'(0) = 0$ है, तो $x = \log_{e} 2$ पर $y$ का मान क्या होगा?

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