यदि f(x) = begin{cases} (1 + 2x)^{1/x}, & x n | vedclass

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Question

(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $x 	o 0$ के रूप में $f(x)$ की सीमा ज्ञात करते हैं।दिया गया है कि $x 
e 0$ के लिए $f(x) = (1 + 2x)^{1/x

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$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = e^2$

Vedclass · Answer

(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $x 	o 0$ के रूप में $f(x)$ की सीमा ज्ञात करते हैं।दिया गया है कि $x 
e 0$ के लिए $f(x) = (1 + 2x)^{1/x}$ है।हम मानक सीमा $\lim_{u 	o 0} (1 + u)^{1/u} = e$ जानते हैं।यहाँ,मान लीजिए $u = 2x$ है। जैसे $x 	o 0$,वैसे ही $u 	o 0$ होगा।तब $f(x) = (1 + 2x)^{1/x} = [(1 + 2x)^{1/(2x)}]^2$ होगा।$x 	o 0$ के लिए सीमा लेने पर:$\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{u 	o 0} [(1 + u)^{1/u}]^2 = e^2$ प्राप्त होता है।चूँकि $\lim_{x 	o 0} f(x) = e^2$ और $f(0) = e^2$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर संतत है।अतः,$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = e^2$ और $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = e^2$ है।विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ सही है।

यदि $f(x) = \begin{cases} (1 + 2x)^{1/x}, & x \ne 0 \\ e^2, & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

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निम्नलिखित फलनों की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए:
a) $f(x) = \sin x + \cos x$
b) $f(x) = \sin x - \cos x$
c) $f(x) = \sin x \times \cos x$

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{5}{2} - x, & x < 2 \\ 1, & x = 2 \\ x - \frac{3}{2}, & x > 2 \end{cases}$,तो:

यदि $f(x) = \frac{\log_e(1 + x^2 \tan x)}{\sin x^3}, x \neq 0$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $f(0)$ का मान क्या होगा?

निम्नलिखित फलन की सांतत्यता की जाँच कीजिए: $f(x) = \frac{1}{x-5}, x \neq 5$.

एक फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ है।

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