यदि int_{pi/6}^{pi/4} (cot (x - frac{pi}{3}) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/4} (\cot(x-\frac{\pi}{3})\cot(x+\frac{\pi}{3}) + 1) dx$.
सर्वसमिका $\cot(A)\cot(B) + 1 = \frac{\cos(A-B)}{\sin(A)\sin

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$36$

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(A) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/4} (\cot(x-\frac{\pi}{3})\cot(x+\frac{\pi}{3}) + 1) dx$.
सर्वसमिका $\cot(A)\cot(B) + 1 = \frac{\cos(A-B)}{\sin(A)\sin(B)}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $A = x-\frac{\pi}{3}$ और $B = x+\frac{\pi}{3}$, हमें $A-B = -\frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, समाकल्य $\frac{\cos(-2\pi/3)}{\sin(x-\frac{\pi}{3})\sin(x+\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{\cos(2x) + 1/2}$ है।
इसका समाकलन करने पर $\int \frac{dx}{\cos(2x) + 1/2} = \int \frac{2 \sec^2 x dx}{4 - 	an^2 x}$ प्राप्त होता है।
$	an x = t$ रखने पर, $\sec^2 x dx = dt$। सीमाएँ $x = \pi/6$ से $t = 1/\sqrt{3}$ और $x = \pi/4$ से $t = 1$ में बदल जाती हैं।
गणना करने पर $a = -2$ प्राप्त होता है, इसलिए $9a^2 = 9(-2)^2 = 36$।

यदि $\int_{\pi/6}^{\pi/4} (\cot (x - \frac{\pi}{3}) \cot (x + \frac{\pi}{3}) + 1) dx = a \log_e (\sqrt{3} - 1)$ है, तो $9a^2$ का मान . . . . . . . है।

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