यदि sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3 है, तो sum_{k=1} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3$।हम जानते हैं कि $n > 1$ के लिए $a_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।$a_n = 6n^3 - 6(n-1)^3 = 6(n^3 - (n^3 -

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$91$

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(A) दिया गया है $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3$।हम जानते हैं कि $n > 1$ के लिए $a_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।$a_n = 6n^3 - 6(n-1)^3 = 6(n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1)) = 6(3n^2 - 3n + 1) = 18n^2 - 18n + 6$।अब, $a_{k+1} - a_k$ की गणना करें:$a_{k+1} - a_k = [18(k+1)^2 - 18(k+1) + 6] - [18k^2 - 18k + 6]$$= 18(k^2 + 2k + 1 - k^2) - 18(k + 1 - k) = 18(2k + 1) - 18 = 36k$।इस मान को दी गई अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:$\sum_{k=1}^{6} \left(\frac{36k}{36}\right)^2 = \sum_{k=1}^{6} k^2$।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर।$n=6$ के लिए, $\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6(6+1)(2 \cdot 6 + 1)}{6} = 7 \cdot 13 = 91$।

यदि $\sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3$ है, तो $\sum_{k=1}^{6} \left(\frac{a_{k+1}-a_k}{36}\right)^2$ का मान . . . . . . है।

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