यदि f(x) = begin{cases} e^x + ax, & x

Question

(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है। चूंकि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है,इसलिए $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होना चाहिए। अतः,$\lim_{x

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$(-3, 1)$

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(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है। चूंकि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है,इसलिए $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होना चाहिए। अतः,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$. $\lim_{x 	o 0^-} (e^x + ax) = e^0 + a(0) = 1$. $\lim_{x 	o 0^+} b(x - 1)^2 = b(0 - 1)^2 = b$. इनकी तुलना करने पर,हमें $b = 1$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है,इसलिए बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ $x = 0$ पर समान होने चाहिए। $LHD = \frac{d}{dx}(e^x + ax) = e^x + a$. $x = 0$ पर,$LHD = e^0 + a = 1 + a$. $RHD = \frac{d}{dx}(b(x - 1)^2) = 2b(x - 1)$. $x = 0$ पर,$RHD = 2b(0 - 1) = -2b$. $LHD = RHD$ रखने पर,हमें $1 + a = -2b$ प्राप्त होता है। $b = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$1 + a = -2(1) \implies 1 + a = -2 \implies a = -3$. अतः,$(a, b) = (-3, 1)$.

यदि $f(x) = \begin{cases} e^x + ax, & x < 0 \\ b(x - 1)^2, & x \ge 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है,तो $(a, b)$ का मान क्या है?

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सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = |x - 1|, x \in R$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $f(x) = \begin{cases} 4x^2 + [2x]x, & \text{यदि } x \in [-\frac{1}{2}, 0) \\ ax^2 - bx, & \text{यदि } x \in [0, \frac{1}{2}) \end{cases}$. तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & x \leq 1 \\ ax^{2}+bx, & x > 1 \end{cases}$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है,तो $f(2) = $ . . . . . . .

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