જો $\tan x$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) હોય, તો $P$ શું હોઈ શકે?

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ નો ઉકેલ છે. જો $x(1) = 1$ હોય,તો $x(\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો.

જો $\cos x$ અને $\sin x$ એ વિકલ સમીકરણ $a_{0} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+a_{1} \frac{d y}{d x}+a_{2} y=0$ ના ઉકેલો હોય, જ્યાં $a_{0}, a_{1}$ અને $a_{2}$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે, તો નીચેનામાંથી કયું/કયા હંમેશા સાચું છે?

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $(1 + {x^2})\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 4{x^2}$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શું છે?

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{4x}{x^2-1}y=\frac{x+2}{(x^2-1)^{5/2}}$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $x > 1$,અને $y(2)=\frac{2}{9}\log_e(2+\sqrt{3})$ તથા $y(\sqrt{2})=\alpha\log_e(\sqrt{\alpha}+\beta)+\beta-\sqrt{\gamma}$,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma \in N$,તો $\alpha\beta\gamma$ ની કિંમત $........$ થાય.

જો એક વક્ર ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x^{2}-4x+y+8}{x-2}$ છે,તો આ વક્ર કયા બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે?