यदि u = tan^{-1}(x + y) है,तो xfrac{partial u | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $u = 	an^{-1}(x + y)$,जिसका अर्थ है $	an u = x + y$.माना $f(x, y) = 	an u = x + y$.चूँकि $f(x, y)$ चर $x$ और $y$ में $n = 1$ घात वा

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$\frac{1}{2}\sin 2u$

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(B) दिया गया है $u = 	an^{-1}(x + y)$,जिसका अर्थ है $	an u = x + y$.माना $f(x, y) = 	an u = x + y$.चूँकि $f(x, y)$ चर $x$ और $y$ में $n = 1$ घात वाला एक समघातीय फलन है,इसलिए यूलर प्रमेय के अनुसार:$x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = n \cdot f(x, y)$$x\frac{\partial}{\partial x}(	an u) + y\frac{\partial}{\partial y}(	an u) = 1 \cdot 	an u$$x(\sec^2 u)\frac{\partial u}{\partial x} + y(\sec^2 u)\frac{\partial u}{\partial y} = 	an u$दोनों पक्षों को $\sec^2 u$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{	an u}{\sec^2 u}$$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sin u}{\cos u} \cdot \cos^2 u = \sin u \cos u$सर्वसमिका $\sin 2u = 2 \sin u \cos u$ का उपयोग करने पर,$\sin u \cos u = \frac{1}{2} \sin 2u$ होता है।अतः,$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \sin 2u$।

यदि $u = \tan^{-1}(x + y)$ है,तो $x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = $

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यदि $u = \log_e(x^2 + y^2) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ है,तो $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = $

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