જો x({x^4} + 1)phi (x) = 1, હોય,તો int_1^2 {p | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $x({x^4} + 1)\phi (x) = 1,$ તેથી $\phi (x) = \frac{1}{{x({x^4} + 1)}}.$ આપણે $\phi (x)$ ને આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આ રીતે લખી શકી

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{4}\log \frac{{32}}{{17}}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $x({x^4} + 1)\phi (x) = 1,$ તેથી $\phi (x) = \frac{1}{{x({x^4} + 1)}}.$ આપણે $\phi (x)$ ને આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આ રીતે લખી શકીએ: $\phi (x) = \frac{1}{x} - \frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}.$ હવે,આપણે $1$ થી $2$ સુધી $\phi (x)$ નું સંકલન કરીએ: $\int_1^2 {\phi (x)\,dx = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}} \right)\,dx} }.$ $= \left[ \log |x| \right]_1^2 - \int_1^2 {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}\,dx}.$ ધારો કે $u = {x^4} + 1,$ તો $du = 4{x^3}\,dx,$ તેથી ${x^3}\,dx = \frac{1}{4}du.$ જ્યારે $x = 1, u = 2.$ જ્યારે $x = 2, u = 17.$ $= (\log 2 - \log 1) - \frac{1}{4} \int_2^{17} {\frac{1}{u}\,du} = \log 2 - \frac{1}{4} \left[ \log u \right]_2^{17}.$ $= \log 2 - \frac{1}{4} (\log 17 - \log 2) = \log 2 - \frac{1}{4} \log 17 + \frac{1}{4} \log 2.$ $= \frac{5}{4} \log 2 - \frac{1}{4} \log 17 = \frac{1}{4} (5 \log 2 - \log 17) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{2^5}{17} \right) = \frac{1}{4} \log \frac{32}{17}.$ આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

જો $x({x^4} + 1)\phi (x) = 1,$ હોય,તો $\int_1^2 {\phi (x)\,dx = } $

Similar Questions

$\int_0^a \frac{x \, dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = $

સંકલન $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}+2x+5}$ ની કિંમત શોધો.

નીચે આપેલા નિશ્ચિત સંકલનો માટે સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:
$(i)$ $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m(x) \cos (x) d x = \frac{1}{m+1}$
(ii) $\int_0^{\pi / 2} \sin (x) \cos ^n(x) d x = \frac{1}{n+1}$

સાબિત કરો કે $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} x \, dx = \frac{2}{3}$.

સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_0^\pi \left(\cos^2 \left(\frac{3\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) - \cos^2 \left(\frac{11\pi}{8} + \frac{x}{4}\right)\right) dx$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module