यदि left( frac{2 + sin x}{1 + y} right) frac{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left( \frac{2 + \sin x}{1 + y} \right) \frac{dy}{dx} = - \cos x$ है। चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{1

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$\frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left( \frac{2 + \sin x}{1 + y} \right) \frac{dy}{dx} = - \cos x$ है। चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{1 + y} = - \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{1 + y} = - \int \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$. माना $u = 2 + \sin x$,तब $du = \cos x dx$. अतः,$\ln|1 + y| = - \ln|2 + \sin x| + C$. इसे $\ln|1 + y| + \ln|2 + \sin x| = C$,या $\ln|(1 + y)(2 + \sin x)| = C$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार,$(1 + y)(2 + \sin x) = K$ (जहाँ $K = e^C$)। दिया गया है $y(0) = 1$,हम $x = 0$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं: $(1 + 1)(2 + \sin 0) = K \implies 2(2 + 0) = K \implies K = 4$. अतः,$(1 + y)(2 + \sin x) = 4$. $y\left( \frac{\pi}{2} \right)$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करें: $(1 + y)(2 + \sin \frac{\pi}{2}) = 4 (1 + y)(2 + 1) = 4 3(1 + y) = 4 1 + y = \frac{4}{3} y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

यदि $\left( \frac{2 + \sin x}{1 + y} \right) \frac{dy}{dx} = - \cos x$ और $y(0) = 1$ है,तो $y\left( \frac{\pi}{2} \right) = $

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