यदि A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 2 & 1 & -2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $AA^T = 9I$,जहाँ $I$ एक $3 	imes 3$ तत्समक आव्यूह है।$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \ 2 & 1 & -2 \ a & 2 & b \end{bmatrix} \begin{bm

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$(-2, -1)$

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(A) दिया गया है कि $AA^T = 9I$,जहाँ $I$ एक $3 	imes 3$ तत्समक आव्यूह है।$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \ 2 & 1 & -2 \ a & 2 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \ 2 & 1 & 2 \ 2 & -2 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \ 0 & 9 & 0 \ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$आव्यूहों का गुणा करने पर,हम तीसरी पंक्ति के अवयवों को देखते हैं:$(3, 1)$ स्थान के लिए: $a(1) + 2(2) + b(2) = 0 \Rightarrow a + 2b + 4 = 0 \Rightarrow a + 2b = -4$ ... $(i)$$(3, 2)$ स्थान के लिए: $a(2) + 2(1) + b(-2) = 0 \Rightarrow 2a - 2b + 2 = 0 \Rightarrow a - b = -1$ ... $(ii)$समीकरणों को हल करने पर:समीकरण $(ii)$ से,$a = b - 1$ प्राप्त होता है।इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(b - 1) + 2b = -4 \Rightarrow 3b = -3 \Rightarrow b = -1$।अतः,$a = -1 - 1 = -2$।इस प्रकार,क्रमित युग्म $(a, b) = (-2, -1)$ है।

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मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ कोटि $3$ का एक वर्ग आव्यूह है,जहाँ $a_{ij} = 2^{j-i}$,सभी $i, j = 1, 2, 3$ के लिए। तब,आव्यूह $A^{2} + A^{3} + \ldots + A^{10}$ बराबर है

$\cos \theta \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} + \sin \theta \begin{bmatrix} \sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{bmatrix}$ को सरल कीजिए।

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