मान लीजिए A = [a_{ij}] कोटि 3 का एक वर्ग आव्य | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $A = [a_{ij}]$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} = 2^{j-i}$ है।$A = \begin{bmatrix} 2^{1-1} & 2^{2-1} & 2^{3-1} \ 2^{1-2} & 2

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$\left(\frac{3^{10}-3}{2}\right) A$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $A = [a_{ij}]$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} = 2^{j-i}$ है।$A = \begin{bmatrix} 2^{1-1} & 2^{2-1} & 2^{3-1} \ 2^{1-2} & 2^{2-2} & 2^{3-2} \ 2^{1-3} & 2^{2-3} & 2^{3-3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \ 1/2 & 1 & 2 \ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}$.$A^2$ की गणना करने पर:$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \ 1/2 & 1 & 2 \ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \ 1/2 & 1 & 2 \ 1/4 & 1/2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 12 \ 3/2 & 3 & 6 \ 3/4 & 3/2 & 3 \end{bmatrix} = 3A$.चूंकि $A^2 = 3A$,इसलिए $A^3 = A^2 \cdot A = (3A) \cdot A = 3A^2 = 3(3A) = 3^2 A$.गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = 3^{n-1} A$.हमें $S = A^2 + A^3 + \ldots + A^{10}$ ज्ञात करना है।$S = 3A + 3^2 A + \ldots + 3^9 A = (3 + 3^2 + \ldots + 3^9) A$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $n=9$ पद हैं,प्रथम पद $a=3$ और सार्व अनुपात $r=3$ है।योग $= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{3(3^9 - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{10} - 3}{2}$.अतः,$S = \left(\frac{3^{10} - 3}{2}ight) A$.

मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ कोटि $3$ का एक वर्ग आव्यूह है,जहाँ $a_{ij} = 2^{j-i}$,सभी $i, j = 1, 2, 3$ के लिए। तब,आव्यूह $A^{2} + A^{3} + \ldots + A^{10}$ बराबर है

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