यदि {x_n} = cos left( frac{pi }{3^n} right) + | vedclass

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Question

(C) दिया गया है ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{3^n} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{3^n} \right) = e^{i\pi / 3^n}$।गुणनफल ${x_1} \cdot {x_2} \cdo

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$i$

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(C) दिया गया है ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{3^n} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{3^n} \right) = e^{i\pi / 3^n}$।गुणनफल ${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \cdots {x_\infty } = e^{i\pi / 3^1} \cdot e^{i\pi / 3^2} \cdot e^{i\pi / 3^3} \cdots e^{i\pi / 3^\infty }$ है।घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए,यह $e^{i\pi \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots \right)}$ के बराबर है।घातांक में अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$ है।अतः,गुणनफल $e^{i\pi (1/2)} = e^{i\pi / 2}$ है।यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i\pi / 2} = \cos \left( \frac{\pi }{2} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{2} \right) = 0 + i(1) = i$।

यदि ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{3^n} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{3^n} \right)$ है,तो ${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \cdots {x_\infty }$ का मान ज्ञात कीजिए।

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