यदि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$ है,तो $\sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$ का मान क्या होगा?

एक लिफाफे में अधिकतम $3$ टिकटों के लिए जगह है। यदि आपको $1$ मूल्यवर्ग के तीन टिकट और $a$ मूल्यवर्ग के तीन टिकट $(a > 1)$ दिए गए हैं,तो वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक क्या है जिसे टिकट के मूल्य के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता है?

$APPLICATION$ शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने अलग-अलग शब्द बनाए जा सकते हैं ताकि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं?

$0, 1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके और प्रत्येक अंक का एक संख्या में एक से अधिक बार उपयोग न करके बनाई जा सकने वाली तीन-अंकीय और पांच-अंकीय पूर्णांकों की कुल संख्या है:

$4$ बक्से पर विचार करें,जहाँ प्रत्येक बक्से में $3$ लाल गेंदें और $2$ नीली गेंदें हैं। मान लें कि सभी $20$ गेंदें अलग-अलग हैं। इन $4$ बक्सों में से $10$ गेंदों को कितने अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है ताकि प्रत्येक बक्से से कम से कम एक लाल गेंद और एक नीली गेंद चुनी जाए?

संख्या $(49^{2}-4)(49^{3}-49)$ किससे विभाज्य है ($!$ में)?