જો $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$ હોય,તો $\sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$ ની કિંમત શું થાય?

એક પરીક્ષામાં,ત્રણ વિષયોમાંથી દરેક માટે મહત્તમ ગુણ $n$ છે અને ચોથા વિષય માટે $2n$ છે. ઉમેદવાર $3n$ ગુણ મેળવી શકે તેવા કુલ કેટલા પ્રકાર છે?

જો $\alpha$ એ $p$ પુરુષો અને $q$ સ્ત્રીઓની હારમાં એવી ગોઠવણીની સંખ્યા દર્શાવે છે કે જેથી બધા પુરુષો સાથે હોય અને $\beta$ એ સમાન શરત સાથે તે જ લોકોની વર્તુળાકાર ગોઠવણીની સંખ્યા દર્શાવે છે,તો $\alpha: \beta$ શું છે?

એક થેલીમાં $n$ સફેદ અને $n$ કાળા દડા છે. થેલી ખાલી ન થાય ત્યાં સુધી દડાની જોડીઓ વારાફરતી યાદચ્છિક રીતે (without replacement) કાઢવામાં આવે છે. જો દરેક જોડીમાં એક સફેદ અને એક કાળો દડો હોય તેવી રીતે દડા કાઢવાની કુલ રીતો $14400$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

$EXAMINATION$ શબ્દના તમામ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને અર્થપૂર્ણ અથવા અર્થહીન શબ્દો બનાવવામાં આવે છે. આવા કોઈપણ શબ્દમાં ચોથા સ્થાને $M$ અક્ષર આવે તેની સંભાવના કેટલી છે?

$0, 2, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને (પુનરાવર્તન વગર) બનતી ચાર અંકની એવી સંખ્યાઓ કે જે $5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય,તેની સંખ્યા કેટલી છે?