यदि a = sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{x^{3n | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ है।दिया गया है $a = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{(3n)!}$,$b = \sum_{n=1

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(A) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ है।दिया गया है $a = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{(3n)!}$,$b = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-2}}{(3n-2)!}$,और $c = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-1}}{(3n-1)!}$।इनका योग करने पर,$a+b+c = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$।इकाई के घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ का उपयोग करते हुए:$a + b\omega + c\omega^2 = e^{\omega x}$।$a + b\omega^2 + c\omega = e^{\omega^2 x}$।सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)$ का उपयोग करने पर:$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = e^x \cdot e^{\omega x} \cdot e^{\omega^2 x} = e^{x(1+\omega+\omega^2)}$।चूंकि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए हमें $e^{x(0)} = e^0 = 1$ प्राप्त होता है।

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