જો f(x) = intlimits_1^x frac{ln t}{1 + t} dt | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt$.
$f(1/x) = \int\limits_1^{1/x} \frac{\ln t}{1 + t} dt$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $t = 1/u$

Vedclass · Accepted Answer

બધા $x > 0$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt$.
$f(1/x) = \int\limits_1^{1/x} \frac{\ln t}{1 + t} dt$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $t = 1/u$,તો $dt = -1/u^2 du$.
જ્યારે $t = 1$,ત્યારે $u = 1$ અને જ્યારે $t = 1/x$,ત્યારે $u = x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(1/x) = \int\limits_1^x \frac{\ln(1/u)}{1 + 1/u} (-1/u^2) du = \int\limits_1^x \frac{-\ln u}{\frac{u+1}{u}} \cdot \frac{1}{u^2} du = -\int\limits_1^x \frac{\ln u}{u(u+1)} du$.
હવે,$f(x) + f(1/x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt - \int\limits_1^x \frac{\ln t}{t(1 + t)} dt = \int\limits_1^x \ln t \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{t(1+t)} \right) dt$.
સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{1+t} - \frac{1}{t(1+t)} = \frac{t-1}{t(1+t)}$.
આમ,$f(x) + f(1/x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t (t-1)}{t(1+t)} dt$.
આ સંકલન $x=1$ માટે $0$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

જો $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt$ જ્યાં $x > 0$ હોય,તો સમીકરણ $f(x) + f(1/x) = 0$ નું સમાધાન કરતી $x$ ની કિંમત(ઓ) કઈ છે?

Similar Questions

સંકલન $\int_{-1}^{1}\left\{\frac{x^{2015}}{e^{\mid x \mid}\left(x^{2}+\cos x\right)}+\frac{1}{e^{\mid{x} \mid}}\right\} d x$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_{0}^{1} \frac{8 \log(1+x)}{1+x^{2}} dx = $

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module