यदि hat{a}, hat{b}, hat{c} इकाई सदिश हैं,तो | | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि किसी भी इकाई सदिश $\hat{u}$ के लिए,$|\hat{u}|^2 = 1$ होता है।पदों का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\hat{a}+\hat{b}|^2 = |

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$3$

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(B) हम जानते हैं कि किसी भी इकाई सदिश $\hat{u}$ के लिए,$|\hat{u}|^2 = 1$ होता है।पदों का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\hat{a}+\hat{b}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + 1 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b})$।इसी प्रकार,$|\hat{b}+\hat{c}|^2 = 2 + 2(\hat{b} \cdot \hat{c})$ और $|\hat{c}+\hat{a}|^2 = 2 + 2(\hat{c} \cdot \hat{a})$।इनका योग करने पर,$S = |\hat{a}+\hat{b}|^2 + |\hat{b}+\hat{c}|^2 + |\hat{c}+\hat{a}|^2 = 6 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a})$।सर्वसमिका $|\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + |\hat{c}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 3 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a})$ पर विचार करें।चूंकि $|\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}|^2 \geq 0$,इसलिए $3 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) \geq -3$।इस मान को $S$ के समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $S \geq 6 - 3 = 3$।अतः,न्यूनतम मान $3$ है।

यदि $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ इकाई सदिश हैं,तो $|\hat{a}+\hat{b}|^2+|\hat{b}+\hat{c}|^2+|\hat{c}+\hat{a}|^2$ का न्यूनतम मान क्या होगा?

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