रेखाओं $r = 3i + 5j + 7k + \lambda(i + 2j + k)$ और $r = -i - j - k + \mu(7i - 6j + k)$ के बीच की न्यूनतम दूरी है

माना $\vec{a}=6 \hat{i}+9 \hat{j}+12 \hat{k}$,$\vec{b}=\alpha \hat{i}+11 \hat{j}-2 \hat{k}$ और $\vec{c}$ ऐसे सदिश हैं कि $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}$ है। यदि $\vec{a} \cdot \vec{c}=-12$ और $\vec{c} \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})=5$ है,तो $\vec{c} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ का मान $.............$ है।

यदि $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i}=4$ है,तो $(\overrightarrow{a} \times \hat{j}) \cdot(2 \hat{j}-3 \hat{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए सदिशों $a = -3i + xj + k$ और $b = xi + 2xj + k$ के बीच का कोण न्यूनकोण है और $b$ तथा $x$-अक्ष के बीच का कोण $\pi/2$ और $\pi$ के बीच स्थित है:

सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ का सदिशों $2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के योग की दिशा में इकाई सदिश के साथ अदिश गुणनफल $1$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

$ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $\overline{AB}=\bar{a}$,$\overline{AD}=\bar{b}$ और $\overline{AC}=2\bar{a}+3\bar{b}$ है। यदि इसका क्षेत्रफल $AB$ और $AD$ को आसन्न भुजाओं के रूप में रखने वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का $\alpha$ गुना है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।