यदि f(x) = cos left( {{{tan }^{ - 1}}left( {s | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = \cos (	an ^{-1}(\sin (\cos ^{-1} x))) + \sin (\cot ^{-1}(\cos (\sin ^{-1} x)))$ है।चूँकि $\sin (\cos ^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$ और $\c

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$m^2+M$

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(D) माना $f(x) = \cos (	an ^{-1}(\sin (\cos ^{-1} x))) + \sin (\cot ^{-1}(\cos (\sin ^{-1} x)))$ है।चूँकि $\sin (\cos ^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$ और $\cos (\sin ^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$ है,इसलिए:$f(x) = \cos (	an ^{-1}(\sqrt{1-x^2})) + \sin (\cot ^{-1}(\sqrt{1-x^2}))$ है।माना $	heta = 	an ^{-1}(\sqrt{1-x^2})$,तो $	an 	heta = \sqrt{1-x^2}$ है।तब $\cos 	heta = \frac{1}{\sqrt{1+	an^2 	heta}} = \frac{1}{\sqrt{1+(1-x^2)}} = \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}$ है।इसी प्रकार,माना $\phi = \cot ^{-1}(\sqrt{1-x^2})$,तो $\cot \phi = \sqrt{1-x^2}$ है।तब $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2 \phi}} = \frac{1}{\sqrt{1+(1-x^2)}} = \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}$ है।अतः,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{2-x^2}}$ है।चूँकि $x \in [-1, 1]$,$x^2 \in [0, 1]$,इसलिए $2-x^2 \in [1, 2]$ है।अतः,$\sqrt{2-x^2} \in [1, \sqrt{2}]$,और $f(x) \in [\sqrt{2}, 2]$ है।इसलिए $m = \sqrt{2}$ और $M = 2$ है।समीकरण $\operatorname{sgn} (|x - 1| - 2) = \ln |x - 2|$ है।$y = \operatorname{sgn} (|x - 1| - 2)$ और $y = \ln |x - 2|$ के ग्राफ का विश्लेषण करने पर,हम पाते हैं कि वक्र $4$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

कॉलम $I$	कॉलम $II$
$(A)$ यदि $a=1$ और $b=0$,तो $(x, y)$	$(p)$ वृत्त $x^2+y^2=1$ पर स्थित है
$(B)$ यदि $a=1$ और $b=1$,तो $(x, y)$	$(q)$ $(x^2-1)(y^2-1)=0$ पर स्थित है
$(C)$ यदि $a=1$ और $b=2$,तो $(x, y)$	$(r)$ $y=x$ पर स्थित है
$(D)$ यदि $a=2$ और $b=2$,तो $(x, y)$	$(s)$ $(4x^2-1)(y^2-1)=0$ पर स्थित है

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$\sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)=$

यदि $x=\sin \left(2 \tan ^{-1} 2\right)$ और $y=\sin \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)$,तो

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