यदि मूल बिंदु पर केंद्रित और (4, -2 sqrt{3}) | vedclass

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Question

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। चूंकि यह $(4, -2 \sqrt{3})$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1

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$\frac{7}{2}$

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(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। चूंकि यह $(4, -2 \sqrt{3})$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1$। $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2(e^2 - 1)} = 1$,जो सरल होकर $16(e^2 - 1) - 12 = a^2(e^2 - 1) \Rightarrow 16e^2 - 28 = a^2(e^2 - 1) \quad (i)$ बनता है। नियता $x = \frac{a}{e}$ है,इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{4}{\sqrt{5}} \Rightarrow a^2 = \frac{16e^2}{5} \quad (ii)$। $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $16e^2 - 28 = \frac{16e^2}{5}(e^2 - 1)$। $5$ से गुणा करने पर: $80e^2 - 140 = 16e^4 - 16e^2 \Rightarrow 16e^4 - 96e^2 + 140 = 0$। $4$ से भाग देने पर: $4e^4 - 24e^2 + 35 = 0$। $e^2$ में द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2e^2 - 7)(2e^2 - 5) = 0$। अतः,$e^2 = \frac{7}{2}$ या $e^2 = \frac{5}{2}$। विकल्पों के अनुसार,$e^2 = \frac{7}{2}$ सही उत्तर है।

यदि मूल बिंदु पर केंद्रित और $(4, -2 \sqrt{3})$ बिंदु से गुजरने वाले अतिपरवलय की नियता $\sqrt{5}x = 4$ है और $e$ इसकी उत्केंद्रता है,तो $e^2 =$

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