यदि एक फलन f(x) अंतराल x in [a, b] में वर्धमा | vedclass

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Question

(D) अंतराल $[a, b]$ पर एक वर्धमान फलन $f(x)$ का सतत या अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है।$1$. चूंकि $f(x)$ वर्धमान है,$[a, b]$ में किसी भी $x_1 < x_2$ के लि

Vedclass · Accepted Answer

समीकरण $f(x) = c, c \in (f(a), f(b))$ के अधिकतम एक हल हैं।

Vedclass · Answer

(D) अंतराल $[a, b]$ पर एक वर्धमान फलन $f(x)$ का सतत या अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है।$1$. चूंकि $f(x)$ वर्धमान है,$[a, b]$ में किसी भी $x_1 $2$. $f(x)$ का परिसर $[f(a), f(b)]$ का उपसमुच्चय है,लेकिन यदि फलन असतत है तो यह $[f(a), f(b)]$ के बराबर होना आवश्यक नहीं है।$3$. $f'(x)$ सभी बिंदुओं पर मौजूद नहीं हो सकता है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ हमेशा सही नहीं है।$4$. किसी भी $c \in (f(a), f(b))$ के लिए,यदि $f(x) = c$ के दो अलग-अलग हल $x_1 < x_2$ होते,तो $f(x_1) = f(x_2) = c$ होता। यदि फलन सख्ती से वर्धमान है,तो यह असंभव है। इसलिए,विकल्प $D$ सबसे उपयुक्त है।

यदि एक फलन $f(x)$ अंतराल $x \in [a, b]$ में वर्धमान (increasing) है,तो निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सही होगा?

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उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = x^{3} + \frac{1}{x^{3}}, x \neq 0$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$:
$(i)$ वर्धमान है
$(ii)$ ह्रासमान है।

$x$ के उन मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f(x) = 2 \log_e(x - 2) - x^2 + 4x + 1$ वर्धमान है:

यदि $\log (1+x)-\frac{2x}{2+x}$ एक वर्धमान फलन है,तो

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_1^x {\left( {t\ln(t) - \frac{{\ln(t)}}{t}} \right)dt}$ जहाँ $x > 1$ है। तो:

फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$,$x > 0$ किस अंतराल में हमेशा एक वर्धमान फलन है?

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