જો ઉપવલય frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.અહીં $m = \frac{1}{3}$ લેતા,સ

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{2}{5}, 4\right)$

Vedclass · Answer

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.અહીં $m = \frac{1}{3}$ લેતા,સ્પર્શક $y = \frac{1}{3}x \pm \sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2}$ થાય,જે $x - 3y \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$ સ્વરૂપમાં છે.આ રેખા વર્તુળ $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ નો અભિલંબ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ છે.અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $(-1, -1)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $-1 - 3(-1) \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0 \implies 2 \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$.આથી $3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 2 \implies \frac{a^2}{9} + b^2 = \frac{4}{9} \implies a^2 + 9b^2 = 4$.$a > b > 0$ હોવાથી $b^2 = \frac{4 - a^2}{9} > 0 \implies a^2  b^2 \implies a^2 > \frac{4 - a^2}{9} \implies a^2 > \frac{2}{5}$.તેથી $a^2 \in \left(\frac{2}{5}, 4\right)$.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ ને $\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક એ વર્તુળ $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ નો અભિલંબ હોય,તો $a^2$ કયા અંતરાલમાં આવે છે?

Similar Questions

ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ ના બે નાભિઓમાંથી ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શક પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

જે ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(2, -3)$ આગળ,નાભિકેન્દ્ર $(3, -3)$ આગળ અને એક શિરોબિંદુ $(4, -3)$ આગળ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module