यदि दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2 | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।$m = \frac{1}{3}$

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$\left(\frac{2}{5}, 4\right)$

Vedclass · Answer

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।$m = \frac{1}{3}$ रखने पर,स्पर्श रेखा $y = \frac{1}{3}x \pm \sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2}$ है,जो $x - 3y \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$ के रूप में है।यह रेखा वृत्त $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ का अभिलंब है,जिसका केंद्र $(-1, -1)$ है।अभिलंब वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए $(-1, -1)$ को समीकरण में रखने पर: $-1 - 3(-1) \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0 \implies 2 \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$.अतः $3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 2 \implies \frac{a^2}{9} + b^2 = \frac{4}{9} \implies a^2 + 9b^2 = 4$.चूंकि $a > b > 0$,$b^2 = \frac{4 - a^2}{9} > 0 \implies a^2  b^2 \implies a^2 > \frac{4 - a^2}{9} \implies a^2 > \frac{2}{5}$.अतः $a^2 \in \left(\frac{2}{5}, 4\right)$।

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