यदि वृत्त x^2+y^2+2x+2y+1=0 की एक स्पर्श रेखा | vedclass

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Question

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ है,जिसे $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसका केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $1$ है।वृत्तों $x^2+

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$g=\frac{3}{4}$ या $f=2$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ है,जिसे $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसका केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $1$ है।वृत्तों $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ की मूल अक्ष $(2g-\frac{3}{2})x+(2f-4)y=0$ है।चूंकि यह रेखा पहले वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ होनी चाहिए।अतः,$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2g+2f-\frac{11}{2})^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.माना $A = 2g-\frac{3}{2}$ और $B = 2f-4$ है। समीकरण $(A+B+4)^2 = A^2+B^2$ बन जाता है,जो सरल होकर $AB+4A+4B+8=0$ हो जाता है।इसके गुणनखंड $(A+4)(B+4)=0$ हैं।अतः,$A=-4$ या $B=-4$ है।यदि $A=-4$,तो $2g-\frac{3}{2}=-4 \implies g=-\frac{5}{4}$।यदि $B=-4$,तो $2f-4=-4 \implies f=0$।दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $g=\frac{3}{4}$ या $f=2$ है।

यदि वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ की एक स्पर्श रेखा,वृत्तों $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ की मूल अक्ष (radical axis) है,तो

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दिए गए वृत्तों $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 13 = 0$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि वृत्त $x^2+y^2-6x-8y-12=0$ और $x^2+y^2-4x+6y+k=0$ एक-दूसरे के लंबकोणीय (orthogonal) हैं,तो '$k$' का मान क्या है?

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