$ACADEMICIAN$ શબ્દના તમામ અક્ષરોને શક્ય તમામ રીતે ગોઠવવામાં આવે,તો એવી કેટલી ગોઠવણીઓ મળે જેમાં કોઈ પણ બે $A$ સાથે ન હોય અને બધા જ વ્યંજનો સાથે હોય?

$'GANGARAM'$ શબ્દના તમામ અક્ષરોને ગોઠવવામાં આવે,તો એવા કેટલા શબ્દો બને જેમાં બરાબર બે સ્વર સાથે હોય પરંતુ કોઈ પણ બે $'G'$ સાથે ન હોય?

$4$ બોક્સ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં દરેક બોક્સમાં $3$ લાલ દડા અને $2$ વાદળી દડા છે. ધારો કે બધા $20$ દડા અલગ છે. આ $4$ બોક્સમાંથી $10$ દડા કેટલી અલગ રીતે પસંદ કરી શકાય જેથી દરેક બોક્સમાંથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ દડો અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય?

એક પ્રશ્નપત્રમાં ત્રણ વિભાગો છે,દરેક વિભાગમાં $4$ પ્રશ્નો છે. જો ઉમેદવારે કોઈ પણ વિભાગ છોડ્યા વગર આ પ્રશ્નપત્રમાંથી માત્ર $5$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના હોય,તો ઉમેદવાર કેટલી રીતે પ્રશ્નોની પસંદગી કરી શકે?

$A, B, C, D, E$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને પાંચ અક્ષરના તમામ શબ્દો બનાવવામાં આવે છે અને અંગ્રેજી શબ્દકોશ મુજબ ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. ધારો કે $n$ ક્રમાંક પરના શબ્દને $W_{n}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. જો શબ્દ $W_{n}$ પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_{n}) = 2P(W_{n-1}), n > 1$ નું પાલન કરે છે. જો $P(CDBEA) = \frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}, \alpha, \beta \in N$ હોય,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

એક પુરુષ $P$ ને $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે. તેની પત્ની $Q$ ને પણ $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ ના કોઈ સામાન્ય મિત્રો નથી. તો $P$ અને $Q$ સાથે મળીને $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષોને આમંત્રિત કરીને પાર્ટી આપી શકે તેવી કુલ રીતોની સંખ્યા શોધો,જેથી $P$ અને $Q$ બંનેના $3-3$ મિત્રો આ પાર્ટીમાં હોય.