यदि शब्द $ACADEMICIAN$ के सभी अक्षरों को सभी संभावित तरीकों से क्रमबद्ध किया जाए,तो ऐसे कितने क्रमचय होंगे जिनमें कोई भी दो $A$ साथ न हों और सभी व्यंजन साथ हों?

यदि शब्द $MATHEMATICS$ के अक्षरों के सभी संभावित क्रमचयों की संख्या जिनमें दोहराए गए अक्षर एक साथ नहीं हैं,$90(X)$ है,तो $X=$

$2, 1, 2, 3$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सभी चार अंकों की संख्याओं का योग $.......$ है।

$0, 1, 2, 3, 4$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $3$ से विभाज्य पाँच अंकों की एक संख्या बनानी है। ऐसा करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

एक इमारत में ग्राउंड फ्लोर और $10$ अन्य मंजिलें हैं। नौ व्यक्ति ग्राउंड फ्लोर पर लिफ्ट में प्रवेश करते हैं। लिफ्ट $10$वीं मंजिल तक जाती है। यदि लिफ्ट पहली और दूसरी मंजिल पर नहीं रुकती है, तो कितने तरीकों से $4$ व्यक्ति एक मंजिल पर और शेष $5$ व्यक्ति एक अलग मंजिल पर उतर सकते हैं?

छात्रों $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{10}$ को $3$ समूहों $A, B$ और $C$ में इस प्रकार विभाजित किया जाना है कि प्रत्येक समूह में कम से कम एक छात्र हो और समूह $C$ में अधिकतम $3$ छात्र हों। तो ऐसे समूहों को बनाने की कुल संभावनाओं की संख्या ........ है।