यदि वक्र y=f(x) पर किसी बिंदु (x_1, y_1) पर अ | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि अधःस्पर्शक (subtangent) की लंबाई $|y_1 \frac{dx}{dy}|$ द्वारा और अधोलंब (subnormal) की लंबाई $|y_1 \frac{dy}{dx}|$ द्वारा दी जाती

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$\sqrt{2}|y_1|$

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(B) हम जानते हैं कि अधःस्पर्शक (subtangent) की लंबाई $|y_1 \frac{dx}{dy}|$ द्वारा और अधोलंब (subnormal) की लंबाई $|y_1 \frac{dy}{dx}|$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है कि $(x_1, y_1)$ पर अधःस्पर्शक और अधोलंब की लंबाइयाँ बराबर हैं, इसलिए: $|y_1 \frac{dx}{dy}| = |y_1 \frac{dy}{dx}|$ यदि $y_1 
eq 0$ है, तो हमें प्राप्त होता है: $|\frac{dx}{dy}| = |\frac{dy}{dx}|$ चूंकि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$, यह दर्शाता है कि: $|\frac{1}{dy/dx}| = |\frac{dy}{dx}|$ $|\frac{dy}{dx}|^2 = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \pm 1$. स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र है: $L = |y_1 \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2}|$ चूंकि $\frac{dy}{dx} = \pm 1$, इसलिए $\frac{dx}{dy} = \pm 1$. इस मान को सूत्र में रखने पर: $L = |y_1 \sqrt{1 + (\pm 1)^2}| = |y_1 \sqrt{1 + 1}| = \sqrt{2}|y_1|$. अतः, स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{2}|y_1|$ है।

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