यदि समीकरणों $ax^2 + bx + c = 0$ $(a, b, c \in R, a \ne 0)$ और $2x^2 + 3x + 4 = 0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है,तो $a : b : c$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $a, b, c, p, q$ वास्तविक संख्याएँ हैं। मान लीजिए $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+2px+q=0$ के मूल हैं और $\alpha, \frac{1}{\beta}$ समीकरण $ax^2+2bx+c=0$ के मूल हैं,जहाँ $\beta^2 \notin \{-1, 0, 1\}$।
$\text{कथन}-1$: $(p^2-q)(b^2-ac) \geq 0$ और
$\text{कथन}-2$: $b \neq pa$ या $c \neq qa$।

यदि द्विघात समीकरणों $3x^2 + ax + 1 = 0$ और $2x^2 + bx + 1 = 0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है,तो व्यंजक $5ab - 2a^2 - 3b^2$ का मान क्या है?

मान लीजिए $\lambda \neq 0$,$\mathbb{R}$ में है। यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}-x+2\lambda=0$ के मूल हैं,और $\alpha$ और $\gamma$ समीकरण $3x^{2}-10x+27\lambda=0$ के मूल हैं,तो $\frac{\beta\gamma}{\lambda}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $p, q, r$ $G.P.$ में हैं और समीकरणों $p x^{2}+2 q x+r=0$ और $d x^{2}+2 e x+f=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ $A.P.$ में हैं।

यदि समीकरणों $ax^2 + bx + c = 0$ और $cx^2 + bx + a = 0$ $(a \neq c)$ का एक उभयनिष्ठ ऋणात्मक मूल है,तो $a - b + c$ का मान क्या होगा?