यदि 3 leq r leq 30 के लिए, binom{30}{30-r} + | vedclass

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Question

(C) पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ को याद करें।दिया गया व्यंजक $\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{3

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$33$

Vedclass · Answer

(C) पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ को याद करें।दिया गया व्यंजक $\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}$ है।हम गुणांक $3$ को $1+2$ के रूप में लिखकर पदों को समूहित कर सकते हैं:$= \binom{30}{30-r} + \binom{30}{31-r} + 2\binom{30}{31-r} + 2\binom{30}{32-r} + \binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}$$= [\binom{30}{30-r} + \binom{30}{31-r}] + 2[\binom{30}{31-r} + \binom{30}{32-r}] + [\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}]$पास्कल की सर्वसमिका का उपयोग करने पर, यह सरल होकर प्राप्त होता है:$= \binom{31}{31-r} + 2\binom{31}{32-r} + \binom{31}{33-r}$$= [\binom{31}{31-r} + \binom{31}{32-r}] + [\binom{31}{32-r} + \binom{31}{33-r}]$$= \binom{32}{32-r} + \binom{32}{33-r} = \binom{33}{33-r}$.समरूपता के गुण $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ के अनुसार, $\binom{33}{33-r} = \binom{33}{33-(33-r)} = \binom{33}{r}$ होता है।अतः $\binom{m}{r}$ से तुलना करने पर, $m = 33$ प्राप्त होता है।

यदि $3 \leq r \leq 30$ के लिए, $\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r} = \binom{m}{r}$ है, तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए:

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