यदि रेखा frac{2x - 8}{sin beta} = frac{y - si | vedclass

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Question

(B) रेखा बिंदु $P(4, \sin \alpha, 1)$ से होकर गुजरती है। चूंकि रेखा समतल $2x - (\sin \beta)y + (\cos \beta)z = k$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P$ समतल के

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$k = 8 + \sin \alpha$

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(B) रेखा बिंदु $P(4, \sin \alpha, 1)$ से होकर गुजरती है। चूंकि रेखा समतल $2x - (\sin \beta)y + (\cos \beta)z = k$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:$2(4) - (\sin \beta)(\sin \alpha) + (\cos \beta)(1) = k$$8 - \sin \alpha \sin \beta + \cos \beta = k \quad \dots(1)$साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (\frac{1}{2} \sin \beta, 1, \cos \alpha)$ समतल के अभिलंब $\vec{n} = (2, -\sin \beta, \cos \beta)$ के लंबवत होना चाहिए:$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$$(\frac{1}{2} \sin \beta)(2) + (1)(-\sin \beta) + (\cos \alpha)(\cos \beta) = 0$$\sin \beta - \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta = 0$$\cos \alpha \cos \beta = 0$चूंकि यह सभी $\alpha \in R$ के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $\cos \beta = 0$ होना चाहिए।$\cos \beta = 0$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:$8 - \sin \alpha \sin \beta + 0 = k$चूंकि $\cos \beta = 0$,इसलिए $\sin \beta = \pm 1$। दिया गया है कि $\sin \beta 
eq 1$,इसलिए $\sin \beta = -1$।अतः,$k = 8 - \sin \alpha (-1) = 8 + \sin \alpha$.

यदि रेखा $\frac{2x - 8}{\sin \beta} = \frac{y - \sin \alpha}{1} = \frac{z - 1}{\cos \alpha}$,जहाँ $\beta \in R$ और $\sin \beta \neq 1$,समतल $2x - (\sin \beta)y + (\cos \beta)z = k$ में सभी $\alpha \in R$ के लिए स्थित है,तो:

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समतलों $2x - y + z = 3$ और $4x - 3y + 5z = -9$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 3}{5}$ के समांतर समतल का समीकरण है

रेखा $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{1}$ और समतल $4x + 5y + 3z - 5 = 0$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं

बिंदु $(1, -2, 3)$ की समतल $x - y + z = 5$ से रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ के समांतर मापी गई दूरी क्या है?

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