यदि वृत्तों x^2+y^2-4x-6y+k=0 और x^2+y^2+8x-4 | vedclass

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Question

(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-6y+k=0$ और $S_2: x^2+y^2+8x-4y+11=0$ हैं।$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1(2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{13-k}$ है।$S_2$ के

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$-36$

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(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-6y+k=0$ और $S_2: x^2+y^2+8x-4y+11=0$ हैं।$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1(2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{13-k}$ है।$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2(-4, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{37}$ है।दो वृत्तों के बीच का कोण $	heta$ के लिए $\cos 	heta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} ight|$ है।$	heta = \frac{\pi}{3}$ होने पर,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$।$\frac{1}{2} = \left| \frac{13-k + 9 - 37}{6\sqrt{13-k}} ight| \Rightarrow 3\sqrt{13-k} = |15+k|$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9(13-k) = (15+k)^2$।$k^2 + 39k + 108 = 0 \Rightarrow (k+36)(k+3) = 0$।अतः $k = -36$ या $k = -3$। विकल्प के अनुसार सही उत्तर $-36$ है।

यदि वृत्तों $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ और $x^2+y^2+8x-4y+11=0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो $k$ का मान है

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