x^2 + y^2 = 1,x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0 और x^2 + | vedclass

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Question

(D) माना अभीष्ट वृत्त $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। यदि वृत्त $S=0$ किसी अन्य वृत्त $S'=0$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो उनकी उभयनिष्ठ ज

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$(-2, -2)$

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(D) माना अभीष्ट वृत्त $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। यदि वृत्त $S=0$ किसी अन्य वृत्त $S'=0$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो उनकी उभयनिष्ठ जीवा $S'=0$ के केंद्र से होकर गुजरती है। उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S - S' = 0$ है। $1$. $S' = x^2 + y^2 - 1 = 0$ के लिए,केंद्र $(0, 0)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (x^2 + y^2 - 1) = 0$ अर्थात $2gx + 2fy + c + 1 = 0$ है। चूंकि यह $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $c + 1 = 0$,अर्थात $c = -1$। $2$. $S' = x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ के लिए,केंद्र $(-1, 0)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy - 1) - (x^2 + y^2 + 2x - 3) = 0$ अर्थात $2(g-1)x + 2fy + 2 = 0$ है। चूंकि यह $(-1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $2(g-1)(-1) + 2f(0) + 2 = 0$,अर्थात $-2g + 2 + 2 = 0$,जिससे $g = 2$ प्राप्त होता है। $3$. $S' = x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$ के लिए,केंद्र $(0, -1)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $(x^2 + y^2 + 4x + 2fy - 1) - (x^2 + y^2 + 2y - 3) = 0$ अर्थात $4x + 2(f-1)y + 2 = 0$ है। चूंकि यह $(0, -1)$ से गुजरती है,इसलिए $4(0) + 2(f-1)(-1) + 2 = 0$,अर्थात $-2f + 2 + 2 = 0$,जिससे $f = 2$ प्राप्त होता है। अतः,अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-2, -2)$ है।

$x^2 + y^2 = 1$,$x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$ वृत्तों की परिधि को समद्विभाजित करने वाले वृत्त के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

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वृत्तों $x^2 + y^2 = 2ax$ और $x^2 + y^2 = 2by$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं

$x^2+y^2+4x-7=0$,$2x^2+2y^2+3x+5y-9=0$,और $x^2+y^2+y=0$ वृत्तों को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने वाले वृत्त का समीकरण है

किन्हीं दो वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के $ \dots $ होती है।

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका व्यास वृत्तों $x^2 + y^2 - 8x + y - 15 = 0$ और $x^2 + y^2 - 4x + 4y - 42 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा है।

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