જો સદિશો $\bar{a}=2 \lambda^2 \hat{i}+4 \lambda \hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{b}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય,તો $\lambda \in$

$\triangle ABC$ માં,ધારો કે $G$ તેનું મધ્યકેન્દ્ર છે અને $M, N$ એ અનુક્રમે $AB, AC$ રેખાખંડોના અંતરિયાળ બિંદુઓ છે,જેથી $M, G, N$ સમરેખ છે. જો $r$ એ $\triangle AMN$ ના ક્ષેત્રફળ અને $\triangle ABC$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર દર્શાવે,તો

$\frac{(\vec{a} \times \vec{b})^2+(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{2|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $PQR$ એક ત્રિકોણ છે. બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અનુક્રમે બાજુઓ $QR, RP$ અને $PQ$ પર એવી રીતે આવેલા છે કે જેથી $\frac{QA}{AR} = \frac{RB}{BP} = \frac{PC}{CQ} = \frac{1}{2}$ થાય. તો $\frac{\operatorname{Area}(\triangle PQR)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ ની કિંમત $........$ છે.

જો સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - 2x\hat{j} - 3y\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 3x\hat{j} + 2y\hat{k}$ એકબીજાને લંબ હોય, તો બિંદુ $(x, y)$ નો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે $\vec{a}=9 \hat{i}-13 \hat{j}+25 \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+7 \hat{j}-13 \hat{k}$,અને $\vec{c}=17 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ ત્રણ આપેલા સદિશો છે. જો $\vec{r}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{r} \times \vec{a}=(\vec{b}+\vec{c}) \times \vec{a}$ અને $\vec{r} \cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$ થાય,તો $\frac{|593 \vec{r}+67 \vec{a}|^2}{(593)^2}$ ની કિંમત શોધો.