यदि y=cos x, y=sin x, x=frac{pi}{4} और x=pi द | vedclass

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Question

(C) $y=\sin x$ और $y=\cos x$ द्वारा $x=\frac{\pi}{4}$ से $x=\pi$ तक परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त किया जाता है

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(C) $y=\sin x$ और $y=\cos x$ द्वारा $x=\frac{\pi}{4}$ से $x=\pi$ तक परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ में, $\sin x \ge \cos x$ है, और $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ में भी $\sin x \ge \cos x$ है (क्योंकि $\cos x$ ऋणात्मक है)। अतः, कुल क्षेत्रफल $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx$ है।प्रश्न के अनुसार, रेखा $x=a$ इस क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है, इसलिए:$\int_{\frac{\pi}{4}}^{a} (\sin x - \cos x) dx = \int_{a}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx$समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{a} = [-\cos x - \sin x]_{a}^{\pi}$$(-\cos a - \sin a) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = (-\cos \pi - \sin \pi) - (-\cos a - \sin a)$$-\cos a - \sin a + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = -(-1) - 0 + \cos a + \sin a$$-\cos a - \sin a + \frac{2}{\sqrt{2}} = 1 + \cos a + \sin a$$\sqrt{2} - 1 = 2(\sin a + \cos a)$$\sin a + \cos a = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin a + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos a = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$$\sin a \cos \frac{\pi}{4} + \cos a \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$$\sin \left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$

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