यदि रेखाओं y=x+c और 2x^2+5xy+3y^2=0 द्वारा नि | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2+5xy+3y^2=0$ है। इसका गुणनखंड करने पर,हमें $(x+y)(2x+3y)=0$ प्राप्त होता है। अतः,दो रेखाएँ $x+y=0$ और $2x+3y=0$ हैं। ती

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$\pm 1$

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(A) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2+5xy+3y^2=0$ है। इसका गुणनखंड करने पर,हमें $(x+y)(2x+3y)=0$ प्राप्त होता है। अतः,दो रेखाएँ $x+y=0$ और $2x+3y=0$ हैं। तीसरी रेखा $y=x+c$ है,या $x-y+c=0$ है। त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: $1$. $x+y=0$ और $2x+3y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु मूलबिंदु $(0,0)$ है। $2$. $x+y=0$ और $x-y+c=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: समीकरणों को जोड़ने पर,$2x+c=0 \Rightarrow x=-\frac{c}{2}$। तब $y=\frac{c}{2}$। अतः,$B = (-\frac{c}{2}, \frac{c}{2})$। $3$. $2x+3y=0$ और $x-y+c=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: दूसरे समीकरण से,$x=y-c$। पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$2(y-c)+3y=0$ $\Rightarrow 5y=2c$ $\Rightarrow y=\frac{2c}{5}$। तब $x=\frac{2c}{5}-c=-\frac{3c}{5}$। अतः,$C = (-\frac{3c}{5}, \frac{2c}{5})$। $(0,0)$,$(x_1, y_1)$,और $(x_2, y_2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-\frac{c}{2})(\frac{2c}{5}) - (-\frac{3c}{5})(\frac{c}{2})| = \frac{1}{2} |-\frac{c^2}{5} + \frac{3c^2}{10}| = \frac{1}{2} |\frac{c^2}{10}| = \frac{c^2}{20}$। दिया गया क्षेत्रफल $= \frac{1}{20}$ है,इसलिए $\frac{c^2}{20} = \frac{1}{20}$ $\Rightarrow c^2=1$ $\Rightarrow c = \pm 1$।

यदि रेखाओं $y=x+c$ और $2x^2+5xy+3y^2=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{20}$ वर्ग इकाई है,तो $c=$

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