यदि बिंदु $P(x_1, y_1)$ से परवलय $y^2 = 4ax$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा,परवलय $x^2 = 4by$ को स्पर्श करती है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?

अतिपरवलय $xy = c^2$ के बिंदु $P(ct, c/t)$ पर स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $T$ पर और $y$-अक्ष को $T'$ पर काटती है। $P$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $N$ पर और $y$-अक्ष को $N'$ पर काटता है। यदि त्रिभुज $PNT$ और $PN'T'$ के क्षेत्रफल क्रमशः $\Delta$ और $\Delta'$ हैं,तो $\frac{1}{\Delta} + \frac{1}{\Delta'}$ का मान क्या है?

अतिपरवलय (hyperbola) पर स्थित किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर खींचे गए लंबों का गुणनफल क्या है?

मान लीजिए $H_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ और $H_2:-\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$ दो अतिपरवलय हैं जिनकी नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $15 \sqrt{2}$ और $12 \sqrt{5}$ है। मान लीजिए उनकी उत्केंद्रताएँ क्रमशः $e_1=\sqrt{\frac{5}{2}}$ और $e_2$ हैं। यदि उनके अनुप्रस्थ अक्षों की लंबाई का गुणनफल $100 \sqrt{10}$ है,तो $25 e_2^2$ का मान . . . . . . है।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के अभिलंब जीवाओं के अंत बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ है

मान लीजिए $x$ एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता है जिसका अनुप्रस्थ अक्ष उसके संयुग्मी अक्ष का दोगुना है। मान लीजिए $y$ एक अन्य अतिपरवलय की उत्केंद्रता है जिसके लिए नाभियों के बीच की दूरी उसकी नियताओं के बीच की दूरी की $3$ गुनी है। तो $y^2-x^2=$