अतिपरवलय (hyperbola) पर स्थित किसी भी बिंदु स | vedclass

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Question

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।माना $(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है,इसलिए $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b

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$\frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$

Vedclass · Answer

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।माना $(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है,इसलिए $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$,जिसका अर्थ है $b^2x_1^2 - a^2y_1^2 = a^2b^2$।अनंतस्पर्शी के समीकरण $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ हैं।बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ पर लंब की दूरी $p_1 = \frac{|bx_1 - ay_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ पर लंब की दूरी $p_2 = \frac{|bx_1 + ay_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।लंबों का गुणनफल $p_1 p_2 = \frac{|b^2x_1^2 - a^2y_1^2|}{a^2 + b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$ है।

अतिपरवलय (hyperbola) पर स्थित किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर खींचे गए लंबों का गुणनफल क्या है?

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उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नियता $x + 2y = 1$,नाभि $(2, 1)$ और उत्केंद्रता $e = 2$ है।

रेखा $ℓx + my + n = 0$,अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा कब कहलाती है?

वक्र $x=a \cosh(t), y=b \sinh(t)$ के लिए किसी भी बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण क्या है?

यदि $\theta$ बिंदु $(1,1)$ से अतिपरवलय $4x^2 - 5y^2 = 20$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का न्यून कोण है,तो $\tan \theta = $

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$ है और नाभिलंब की लंबाई $9$ है,तो $ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

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