જો વર્તુળો $x^{2}+y^{2}=9$ અને $x^{2}+y^{2}+2 \alpha x+2 y+1=0$ એકબીજાને આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

વર્તુળો $x^2+y^2+5x+4y-5=0$ અને $x^2+y^2-3x+5y-6=0$ ની રેડિકલ અક્ષ (radical axis) શોધો.

જો વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c \sin^2 \alpha + (g^2 + f^2) \cos^2 \alpha = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,તો સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?

બે વર્તુળો $S_1 = x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $S_2 = x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદે છે,તો:

ધારો કે $C_1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું $1$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે. ધારો કે $C_2$ એ $A=(4,1)$ બિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું $r$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે,જ્યાં $1 < r < 3$. $C_1$ અને $C_2$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો $PQ$ અને $ST$ દોરવામાં આવ્યા છે. સ્પર્શક $PQ$ એ $C_1$ ને $P$ પર અને $C_2$ ને $Q$ પર સ્પર્શે છે. સ્પર્શક $ST$ એ $C_1$ ને $S$ પર અને $C_2$ ને $T$ પર સ્પર્શે છે. રેખાખંડ $PQ$ અને $ST$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડતી રેખા $x$-અક્ષને $B$ બિંદુમાં મળે છે. જો $AB=\sqrt{5}$ હોય,તો $r^2$ ની કિંમત શોધો.

$x^2+y^2-4x-4y+3=0$,$x^2+y^2+4x-4y+3=0$ અને $x^2+y^2+4x+4y+3=0$ ત્રણેય વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોય તેવા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.