જો બે ઉપવલયો $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1$ અને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન હોય,તો $a/b$ ની કિંમત શું થાય?

પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લંબવૃત્ત (ellipse) ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ ($y$-અક્ષ પર) $\frac{4}{\sqrt{3}}$ છે. જો આ લંબવૃત્ત રેખા $x+6y=8$ ને સ્પર્શે છે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ઉપવલય $x^2+9y^2=9$ ના મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુ $A$ અને ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $B$ માંથી પસાર થતી રેખા તેના સહાયક વર્તુળને બિંદુ $M$ માં મળે છે. તો $A$,$M$ અને ઉગમબિંદુ $O$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $2x^2 + ay^2 - 8x - 2ay + (8 - a) = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો આ ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો $1$ ઢાળ ધરાવતા આ ઉપવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે પ્રથમ ચરણમાં આવેલ બિંદુ $L$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ના નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એ બિંદુઓ છે જ્યાં $L$ આગળ દોરેલ અભિલંબ આ આપેલ ઉપવલયના મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષને મળે છે. તો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{49}=1$ ના સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો પર બનતો ન્યૂનતમ અંતઃખંડ કેટલો છે?