જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ $x$-અક્ષ પર રેખા $\frac{x}{7}+\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ ને અને $y$-અક્ષ પર રેખા $\frac{x}{7}-\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ ને મળે છે,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એક ઉપવલય,જેના નાભિ $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ પર છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $4$ છે,તે નીચેનામાંથી કયા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ ના નાભિઓને તેના ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓ એકબીજા સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી હોય, તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $R(\sqrt{2}, 2\sqrt{2}-2)$ માં મળે છે. જો $S$ એ ઉપવલયનું તેના ઋણ મુખ્ય અક્ષ પરનું નાભિ હોય,તો $SP^{2} + SQ^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ એક ઉપવલય છે. ઉપવલયો $E_i$ એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે તેમના કેન્દ્રો અને ઉત્કેન્દ્રતા $E_1$ જેવી જ હોય,અને $E_i$ ની લઘુ અક્ષની લંબાઈ એ $E_{i+1}$ ની ગુરુ અક્ષની લંબાઈ જેટલી હોય $(i \geq 1)$. જો $A_i$ એ ઉપવલય $E_i$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $\frac{5}{\pi}\left(\sum_{i=1}^{\infty} A_i\right)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

વિધાન $(A)$: ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4$ છે. તેની નાભિ અને તેને અનુરૂપ નિયામિકા અનુક્રમે $(1, -2)$ અને $3x + 4y - 15 = 0$ છે. તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{2}$ છે.
કારણ $(R)$: ઉપવલયની નાભિમાંથી તેની અનુરૂપ નિયામિકા પર દોરેલા લંબની લંબાઈ $\frac{a(1 - e^2)}{e}$ છે.
તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?