જો વર્તુળો x^2+y^2+x-3y-10=0 અને x^2+y^2+2x-y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+x-3y-10=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x-y-20=0$ છે. સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $(x^2+y^2+x-3y-10) - (x^

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(A) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+x-3y-10=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x-y-20=0$ છે. સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $(x^2+y^2+x-3y-10) - (x^2+y^2+2x-y-20) = 0$ છે. આનું સાદું રૂપ $-x-2y+10=0$ અથવા $x+2y-10=0$ થાય છે. $S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ છે. $(x^2+y^2+x-3y-10) + \lambda(x+2y-10) = 0$. $x^2+y^2+(1+\lambda)x+(-3+2\lambda)y+(-10-10\lambda) = 0$. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{1+\lambda}{2}, \frac{3-2\lambda}{2})$ છે. સામાન્ય જીવા $x+2y-10=0$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર તેના પર હોવું જોઈએ: $-\frac{1+\lambda}{2} + 2(\frac{3-2\lambda}{2}) - 10 = 0$. $-1-\lambda + 6-4\lambda - 20 = 0 \implies -5\lambda - 15 = 0 \implies \lambda = -3$. $\lambda = -3$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2+(1-3)x+(-3-6)y+(-10+30) = 0$. $x^2+y^2-2x-9y+20=0$. $x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha=-2, \beta=-9, \gamma=20$ મળે છે. આમ,$\alpha+2\beta+\gamma = -2 + 2(-9) + 20 = -2 - 18 + 20 = 0$.

Similar Questions

વર્તુળો $x^2 + y^2 = 12$ અને $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 2 = 0$ ની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ શોધો. ($\sqrt{2}$ માં)

જો બે વર્તુળો $x^2+y^2-2x-6y+10-r^2=0$ અને $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ ની સામાન્ય જીવા શૂન્યતર લંબાઈની હોય,તો

બિંદુ $(-1, -4)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. તો સ્પર્શકની જીવાની લંબાઈ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module