यदि व्यंजक left( mx - 1 + frac{1}{x} right) स | vedclass

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Question

(C) दिया गया व्यंजक $f(x) = mx - 1 + \frac{1}{x} \ge 0$ है,जहाँ $x > 0$ है।$x$ से गुणा करने पर ($x > 0$ होने के कारण),हमें $mx^2 - x + 1 \ge 0$ प्राप्

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$\frac{1}{4}$

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(C) दिया गया व्यंजक $f(x) = mx - 1 + \frac{1}{x} \ge 0$ है,जहाँ $x > 0$ है।$x$ से गुणा करने पर ($x > 0$ होने के कारण),हमें $mx^2 - x + 1 \ge 0$ प्राप्त होता है।किसी द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ के लिए,यदि वह सभी $x > 0$ के लिए अ-ऋणात्मक है,तो $a > 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D \le 0$ होना चाहिए।यहाँ,$a = m$,$b = -1$,और $c = 1$ है।शर्त $1$: $a > 0 \implies m > 0$.शर्त $2$: $D = b^2 - 4ac \le 0 \implies (-1)^2 - 4(m)(1) \le 0$.$1 - 4m \le 0 \implies 4m \ge 1 \implies m \ge \frac{1}{4}$.अतः,$m > 0$ और $m \ge \frac{1}{4}$ होने के कारण,$m$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{4}$ है।

यदि व्यंजक $\left( mx - 1 + \frac{1}{x} \right)$ सभी $x > 0$ के लिए सदैव अ-ऋणात्मक (non-negative) है,तो $m$ का न्यूनतम मान क्या होगा?

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$a$ के मानों का वह सटीक समुच्चय ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण ${x^3}(x + 1) = 2(x + a)(x + 2a)$ के चार वास्तविक हल हों:

$\frac{(a-b)^{2}}{(b-c)(c-a)}+\frac{(b-c)^{2}}{(a-b)(c-a)}+\frac{(a-c)^{2}}{(a-b)(b-c)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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