यदि फलन $f(x) = \begin{cases} -x, & x < 1 \\ a + \cos^{-1}(x + b), & 1 \le x \le 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय है,तो $\frac{a}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ और $g : R \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं जो सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$ और $f(x)=x g(x)$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $f$ प्रत्येक $x \in R$ पर अवकलनीय है
$(B)$ यदि $g(0)=1$ है,तो $g$ प्रत्येक $x \in R$ पर अवकलनीय है
$(C)$ अवकलज $f^{\prime}(1)$ का मान $1$ है
$(D)$ अवकलज $f^{\prime}(0)$ का मान $1$ है

मान लीजिए $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। तो $-1 \leq x \leq 3$ के लिए फलन $y = [x] + |1 - x|$ जिन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है,उन बिंदुओं की संख्या है

मान लीजिए $K$ उन सभी वास्तविक मानों $x$ का समुच्चय है जहाँ फलन $f(x) = \sin |x| - |x| + 2(x - \pi) \cos |x|$ अवकलनीय नहीं है। तो समुच्चय $K$ किसके बराबर है?

$\text{फलन } f(x) = \begin{cases} \tan^{-1} x, & \text{यदि } |x| \le 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & \text{यदि } |x| > 1 \end{cases} \text{ के अवकलज का प्रांत क्या है?}$

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & ; |x| \geq 1 \\ ax^2 + b & ; |x| < 1 \end{cases}$ अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?