यदि फलन f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x+1, a0 का x=al | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x+1$.अवकलन करने पर: $f'(x)=6x^2-18ax+12a^2$.स्थानीय चरम मानों के लिए $f'(x)=0$ रखने पर,$6(x^2-3ax+2a^2)=0$,जिसका

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$x^2-6x+8=0$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x+1$.अवकलन करने पर: $f'(x)=6x^2-18ax+12a^2$.स्थानीय चरम मानों के लिए $f'(x)=0$ रखने पर,$6(x^2-3ax+2a^2)=0$,जिसका गुणनखंड $6(x-a)(x-2a)=0$ है।मूल $x=a$ और $x=2a$ हैं।चूंकि $x=\alpha$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=\alpha^2$ पर स्थानीय निम्नतम है,दो स्थितियाँ हैं:स्थिति $1$: $\alpha=a$ और $\alpha^2=2a$. अतः $a^2=2a \Rightarrow a(a-2)=0$. चूंकि $a>0$,इसलिए $a=2$.यदि $a=2$ है,तो मूल $\alpha=2$ और $\alpha^2=4$ हैं। समीकरण $(x-2)(x-4)=x^2-6x+8=0$ है।स्थिति $2$: $\alpha=2a$ और $\alpha^2=a$. अतः $(2a)^2=a \Rightarrow 4a^2-a=0 \Rightarrow a(4a-1)=0$. चूंकि $a>0$,इसलिए $a=1/4$.यदि $a=1/4$ है,तो मूल $\alpha=1/2$ और $\alpha^2=1/4$ हैं। समीकरण $(x-1/2)(x-1/4)=x^2-(3/4)x+1/8=0$ अर्थात $8x^2-6x+1=0$ है।द्वितीय अवकलज $f''(x)=12x-18a$ की जाँच करने पर:$a=2$ के लिए,$f''(2)=-12  0$ (निम्नतम)। यह सही है।$a=1/4$ के लिए,$f''(1/2)=1.5 > 0$ (निम्नतम) और $f''(1/4)=-1.5 अतः,सही समीकरण $x^2-6x+8=0$ है।

यदि फलन $f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x+1, a>0$ का $x=\alpha$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=\alpha^2$ पर स्थानीय निम्नतम मान है,तो $\alpha$ और $\alpha^2$ किस समीकरण के मूल हैं?

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