यदि फलन f(x),जो नीचे परिभाषित है,हर जगह सतत ह | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि,$f(x) = \begin{cases} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}, & x 
eq 0 \ k, & x=0 \end{cases}$ हर जगह सतत है। चूँकि $f(x)$ हर जगह सतत है,इसल

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$\log _e 4$

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(B) दिया गया है कि,$f(x) = \begin{cases} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}, & x 
eq 0 \ k, & x=0 \end{cases}$ हर जगह सतत है। चूँकि $f(x)$ हर जगह सतत है,इसलिए यह $x=0$ पर भी सतत होगा। अतः,$\lim_{x ightarrow 0} f(x) = f(0)$. $\lim_{x ightarrow 0} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1} = k$. यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए $L^{\prime}$ Hospital नियम का उपयोग करने पर: $\lim_{x ightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(2^x-1)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x}-1)} = k$. $\lim_{x ightarrow 0} \frac{2^x \log_e 2}{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}} = k$. $x=0$ रखने पर: $\frac{2^0 \log_e 2}{\frac{1}{2\sqrt{1+0}}} = k$. $\frac{1 \cdot \log_e 2}{\frac{1}{2}} = k$. $2 \log_e 2 = k$. $n \log a = \log a^n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$k = \log_e 2^2 = \log_e 4$ प्राप्त होता है।

यदि फलन $f(x)$,जो नीचे परिभाषित है,हर जगह सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए: $f(x)=\begin{cases} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$

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