यदि फलन f: R rightarrow R को f(x) = begin{cas | vedclass

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Question

(D) फलन इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} 2x-3, & x  2 \end{cases}$.$1$. एकैकी (Injectivity

Vedclass · Accepted Answer

न तो एकैकी है और न ही आच्छादक

Vedclass · Answer

(D) फलन इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} 2x-3, & x  2 \end{cases}$.$1$. एकैकी (Injectivity) की जाँच:एक फलन एकैकी होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो।अंतराल $[-2, 2]$ पर विचार करें, जहाँ $f(x) = x^2 - 1$ है।हम देखते हैं कि $f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$ और $f(1) = (1)^2 - 1 = 0$ है।चूँकि $f(-1) = f(1)$ है लेकिन $-1 
eq 1$, इसलिए फलन एकैकी नहीं है।$2$. आच्छादक (Surjectivity) की जाँच:एक फलन आच्छादक होता है यदि उसका परिसर उसके सह-प्रांत $(R)$ के बराबर हो।- $x - $-2 \leq x \leq 2$ के लिए, $f(x) = x^2 - 1$। न्यूनतम मान $-1$ (जब $x=0$) है और अधिकतम मान $f(-2) = f(2) = 3$ है। अतः, $f(x) \in [-1, 3]$।- $x > 2$ के लिए, $f(x) > 3(2) + 2 = 8$। अतः, $f(x) \in (8, \infty)$।$f$ का परिसर $(-\infty, -7) \cup [-1, 3] \cup (8, \infty)$ है।चूँकि परिसर सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है, इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।निष्कर्ष: फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

यदि फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} 2x-3, & \text{यदि } x < -2 \\ x^2-1, & \text{यदि } -2 \leq x \leq 2 \\ 3x+2, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$ है

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