मान लीजिए f:[0,1] rightarrow [-1,1] और g:[-1, | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $h(x) = g(f(x))$ है। हमें दिया गया है कि $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ आच्छादक है। चूँकि $h$ आच्छादक है,$h$ का परिसर उसके सह-प्रांत $[0,2

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$f$ को आच्छादक होना चाहिए लेकिन एकैकी होना आवश्यक नहीं है

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $h(x) = g(f(x))$ है। हमें दिया गया है कि $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ आच्छादक है। चूँकि $h$ आच्छादक है,$h$ का परिसर उसके सह-प्रांत $[0,2]$ के बराबर है। चूँकि $h(x) = g(f(x))$,$h$ का परिसर $g$ के परिसर का एक उपसमुच्चय है। अतः,$g$ के परिसर में $[0,2]$ शामिल होना चाहिए। हालाँकि,$g$ का सह-प्रांत $[0,2]$ है,इसलिए $g$ का परिसर वास्तव में $[0,2]$ ही होना चाहिए। यह दर्शाता है कि $g$ आच्छादक है। चूँकि $g$ एकैकी दिया गया है और अब यह आच्छादक भी सिद्ध हो गया है,इसलिए $g$ एक बाइजेक्शन है। $h = g \circ f$ के आच्छादक होने के लिए,$f$ का आच्छादक होना अनिवार्य है। यदि $f$ आच्छादक नहीं होता,तो $[-1,1]$ में कोई ऐसा $y$ मौजूद होता जो $f$ के परिसर में नहीं होता। चूँकि $g$ एक बाइजेक्शन है,$g(y)$ का मान $g \circ f$ के परिसर में नहीं होता,जो $h$ की आच्छादकता का खंडन करता है। इसलिए,$f$ को आच्छादक होना ही चाहिए।

मान लीजिए $f:[0,1] \rightarrow [-1,1]$ और $g:[-1,1] \rightarrow [0,2]$ दो फलन हैं,जहाँ $g$ एकैकी (injective) है और $g \circ f: [0,1] \rightarrow [0,2]$ आच्छादक (surjective) है। तब,

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$f: R \to R$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = x|x| + x^3|x|$ है

यदि $f(x) = |\sin x| + |\cos x|$ और $g(x) = [x]$ है,तो $h(x) = g(f(x))$ का आवर्तनांक (period) क्या है? जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन $(G.I.F.)$ को दर्शाता है।

$f : R \rightarrow (-1, 1)$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$ है:

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} 2x; & x > 3 \\ x^2; & 1 < x \leq 3 \\ 3x; & x \leq 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो $f(-1) + f(2) + f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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