ધારો કે f:[0,1] rightarrow [-1,1] અને g:[-1,1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $h(x) = g(f(x))$. આપણને આપેલ છે કે $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ વ્યાપ્ત છે. $h$ વ્યાપ્ત હોવાથી,$h$ નો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $[0,2]$ જેટલો

Vedclass · Accepted Answer

$f$ વ્યાપ્ત હોવું જોઈએ પણ એક-એક હોવું જરૂરી નથી

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $h(x) = g(f(x))$. આપણને આપેલ છે કે $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ વ્યાપ્ત છે. $h$ વ્યાપ્ત હોવાથી,$h$ નો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $[0,2]$ જેટલો થાય છે. $h(x) = g(f(x))$ હોવાથી,$h$ નો વિસ્તાર એ $g$ ના વિસ્તારનો ઉપગણ છે. આમ,$g$ નો વિસ્તાર $[0,2]$ સમાવવો જોઈએ. જોકે,$g$ નો સહ-પ્રદેશ $[0,2]$ છે,તેથી $g$ નો વિસ્તાર ચોક્કસપણે $[0,2]$ જ હોવો જોઈએ. આ સૂચવે છે કે $g$ વ્યાપ્ત છે. $g$ એક-એક આપેલ છે અને હવે તે વ્યાપ્ત સાબિત થયું છે,તેથી $g$ એ બાયજેક્ટિવ વિધેય છે. $h = g \circ f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,$f$ નું વ્યાપ્ત હોવું અનિવાર્ય છે. જો $f$ વ્યાપ્ત ન હોય,તો $[-1,1]$ માં કોઈ એવો $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે જે $f$ ના વિસ્તારમાં ન હોય. $g$ બાયજેક્ટિવ હોવાથી,$g(y)$ એ $g \circ f$ ના વિસ્તારમાં ન હોય,જે $h$ ની વ્યાપ્તતાનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત હોવું જ જોઈએ.

ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow [-1,1]$ અને $g:[-1,1] \rightarrow [0,2]$ બે વિધેયો છે,જ્યાં $g$ એક-એક (injective) છે અને $g \circ f: [0,1] \rightarrow [0,2]$ વ્યાપ્ત (surjective) છે. તો,

Similar Questions

જો $n(A) = 5$ અને $n(B) = 8$ હોય,તો $A$ થી $B$ પર કેટલાં શક્ય વિધેયો વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય?

$f:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = \frac{x}{1+x}$ એ

વિધાન-$I$: ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એવું વિધેય છે કે જેથી $f(x) = x^3 + x^2 + 3x + \sin x$. તો $f$ એ એક-એક વિધેય છે.
વિધાન-$II$: $f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.

નીચેનામાંથી કયું વિધેય વ્યાપ્ત (surjective) છે પરંતુ એક-એક (injective) નથી?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module