જો વિધેય $f:[a, b] \rightarrow \left[-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}\right]$ જે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin x & 1 \\ 1+\cos x & 1 & 1 \end{array} \right|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને તે એક-એક અને વ્યાપ્ત હોય, તો:

જો $A$ એક ચોરસ શ્રેણિક હોય અને $A^2+I=2 A$ હોય, તો $A^9=$

જો $A+B=\left[\begin{array}{cr}1 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right]$ જ્યાં $A$ સંમિત શ્રેણિક છે અને $B$ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તો $\theta=\frac{\pi}{6}$ આગળ શ્રેણિક $\left(A^{-1} B+A B^{-1}\right)$ શું થશે?

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેથી તમામ શૂન્યતર $3 \times 1$ શ્રેણિકો $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ માટે $X^{T}AX = O$ થાય. જો $A \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ -5\end{array}\right]$,$A \left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ -8\end{array}\right]$,અને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(A+I)))=2^\alpha 3^\beta 5^\gamma$,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$,તો $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ શોધો.

ધારો કે $A$ એ $4$ ના આવર્તકાળ ધરાવતો શૂન્યતર આવર્તક શ્રેણિક છે અને $A^{12} + B = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે અને $B$ એ $A$ ના સમાન કક્ષાનો કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક છે. શ્રેણિક ગુણાકાર $AB$ કોના બરાબર છે?

ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^{2} & \beta^{2} & \gamma^{2} \\ \beta+\gamma & \gamma+\alpha & \alpha+\beta \end{bmatrix}$,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ ત્રણ ભિન્ન પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. જો $\frac{\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))))}{(\alpha-\beta)^{16}(\beta-\gamma)^{16}(\gamma-\alpha)^{16}}=2^{32} \times 3^{16}$ હોય,તો આવી $3$-ટપલ્સ $(\alpha, \beta, \gamma)$ ની સંખ્યા $.....$ છે.